درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (3) کلاس دوازدهم ریاضی

1- دو نقطهٔ $A$ و $B$ روی یک بیضی و $F$ و $F'$ کانون‌های بیضی‌اند. $A$ به کانون $F'$ نزدیک‌تر و $B$ به کانون $F$ نزدیک‌تر است. اگر $AF' = BF$باشد، نشان دهید:

الف) در حالتی که دو پاره‌خط $AF$ و $BF'$ یکدیگر را درون بیضی قطع نکنند، با هم موازی‌اند.

$\left. \begin{gathered}
  AF' + AF = 2a \\
  BF' + BF = 2a \\
  BF = AF' \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AF = BF'$

چهارضلعی که اضلاع آن دو به دو مساوی باشند متوازی‌الاضلاع است پس $AF||BF'$

ب) در حالتی که $AF$ و $BF'$ یکدیگر را درون بیضی و در نقطه‌ای مانند $M$ قطع کنند، مثلث $FMF'$ متساوی‌الساقین است و $M$ روی قطر کوچک بیضی است.

$\left. \begin{gathered}
  AF' + AF = 2a \\
  BF' + BF = 2a \\
  BF = AF' \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow A\mathop F\limits^\Delta  F' \cong B\mathop F\limits^\Delta  F'$

$ \Rightarrow AF = BF',\angle {F_1} = \angle {F'_1}$

متساوی‌الساقین است    $ \Rightarrow O\mathop F\limits^\Delta  F'$

2- قطر دایره $C$، مانند شکل، قطر بزگ بیضی $e$ است و از کانون $F$ عمودی بر $AA'$ رسم کرده‌ایم تا دایره را در نقطه‌ای مانند $M$ قطع کند. ثابت کنید $MF$ با نصف قطر کوچک بیضی برابر است.

$OA - {a_2}OF - {c_2}OM - R - a$

$O\mathop M\limits^\Delta  F:O{M^2} = O{F^2} + F{M^2} \to {a^2} = {c^2} + F{M^2}$

$\left. \begin{gathered}
  {c^2} = {a^2} - F{M^2} \hfill \\
  {c^2} - {a^2} - {b^2}\,\,\,\,\,\, \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow FM - b$

3- در شکل زیر نقطهٔ $M$ روی بیضی و کانون‌های $F$ و $F'$ مشخص شده‌اند. خط $d$ را به گونه‌ای رسم کنید که در نقطهٔ $M$ بر بیضی مماس باشد و سپس از نقطهٔ $F'$ خطی موازی با $MF$ رسم کنید تا خط $d$ را در نقطه‌ای مانند $N$ قطع کند. ثابت کنید $NF' = MF'$

$\left. \begin{gathered}
  \angle \alpha  = \angle \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
  MF||NF',d \Rightarrow \angle N = \angle \alpha  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \angle N = \angle \beta $

$F'\mathop M\limits^\Delta  N:\angle N = \angle \beta  \Rightarrow F'M = F'N$

4- نقطهٔ $M$ روی بیضی به اقطار 6 و 10 واحد به گونه‌ای قرار دارد که فاصلهٔ آن تا مرکز بیضی برابر 4 واحد است.

الف) نشان دهید $OM = OF = OF'$.

$OM = OF = OF'$

${c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \to c = 4 = OF = OF'$

ب) نشان دهید مثلث $MFF'$ قائم‌الزاویه است.
در مثلثی که میانه نظیر یک ضلع آن نصف آن ضلع باشد قائم‌الزاویه است در رأس روبرو به ضلع نصف شده است.

ج) طول‌های $MF$ و $MF'$ را به‌دست آورید.

$x + y = 2a = 10 \Rightarrow y = 10 - x$

${x^2} + {y^2} = F{F'^2} = {8^2} \Rightarrow {x^2} + {(10 - x)^2} = 64 \Rightarrow $

$2{x^2} - 20x + 36 = 0 \Rightarrow {x^2} - 10x + 18 = 0$

${x_1},{x_2} = 5 \pm \sqrt 7 $

$\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = 5 + \sqrt 7  \Rightarrow y = 5 - \sqrt 7 } \\ 
  {x = 5 - \sqrt 7  \Rightarrow y = 5 + \sqrt 7 } 
\end{array} \Rightarrow MF' = 5 + \sqrt 7 ,MF = 5 - \sqrt 7 $

5- در بیضی زیر طول قطر بزرگ دو برابر طول قطر کوچک است. اندازهٔ زاویهٔ $FBF'$ چند درجه است؟

$a = 2b$

${c^2} = {a^2} - {b^2} = 4{b^2} - {b^2} = 3{b^2} \to c = \sqrt 3 b$

$\tan \left( {O\hat BF} \right) = \frac{{OF}}{{OB}} = \frac{{\sqrt 3 b}}{b} = \sqrt 3  = \tan {60^ \circ }$

$ \Rightarrow O\hat BF = {60^ \circ } \to \boxed{F\hat BF'} = {120^ \circ }$

6- در بیضی زیر $AA'$ و $BB'$ دو قطراند. خط $d$ در نقطهٔ $B$ بر بیضی مماس است. پاره‌خط $BF$ را رسم می‌کنیم و در نقطهٔ $F$ عمودی بر $BF$ رسم می‌کنیم تا خط $d$ را در نقطهٔ $C$ قطع کند و از $C$ عمودی بر امتداد قطر بزرگ بیضی رسم می‌کنیم تا آن را در نقطه‌ای مانند $D$ قطع کند. اگر $B\hat CF = {45^ \circ }$، مقدار $\frac{{AD}}{{AF}}$ را به‌دست آورید.

$AF = a - c$

$FD = b = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {{c^2}}  = c$

$AD = FD - FA = c - (a - c) = 2c - a$

$ \to \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{2c - a}}{{a - c}}$

7- سهمی ${y^2} = 2x - 4y$ مفروض است. مختصات رأس و کانون سهمی را یافته و آن را رسم کنید. همچنین مختصات نقاط برخورد سهمی و محورهای مختصات را بیابید.

سهمی افقی و دهانه به راست ${y^2} + 4y = 2x \to {y^2} + 4y + 4 - 2x + 4 \to {(y + 2)^2} - 2(x + 2)$

$S\left| \begin{gathered}
   - 2 \hfill \\
   - 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,45 - 2 \to a - \frac{1}{2} \to F\left| \begin{gathered}
  \alpha  + a =  - 2 + \frac{1}{2} =  - \frac{3}{2} \hfill \\
  \beta  =  - 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

خط هادی     $x = \alpha  - a =  - 2 - \frac{1}{2} =  - \frac{5}{2}$

$x - 0 \to y + 4y - 0 \to \begin{array}{*{20}{c}}
  {y = 0} \\ 
  {y =  - 4} 
\end{array}$

نقاط برخورد با محور $y$ها    $\left| \begin{gathered}
  0 \hfill \\
  0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,0\left| \begin{gathered}
  0 \hfill \\
   - 4 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

8- مختصات رأس و کانون سهمی به معادله $(a \ne 0)y = a{x^2} + bx + c$ را به‌دست آورید.

$y = a{x^2} + bx + c = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + c = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}}$

$y - \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \to \frac{1}{a}\left( {y - \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}}} \right) = {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2}$

$S\left| \begin{gathered}
  \,\,\,\,\, - \frac{b}{{2a}} \hfill \\
   - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

$4p = \frac{1}{a} \to p = \frac{1}{{4a}} \to F\left| \begin{gathered}
  \,\,\,\,\, - \frac{b}{{2a}} \hfill \\
   - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} + \frac{1}{{4a}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

9- معادله سهمی را بنویسید که $S(1,2)$ رأس و $F(1, - 2)$ کانون آن باشد.

$S\left| \begin{gathered}
  1 \hfill \\
  2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,;F\left| \begin{gathered}
  1 \hfill \\
   - 2\,\,\,\, \Rightarrow  - 2 = 2 + a \to a =  - 4 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

${(x - 1)^2} =  - 16(y - 2)$

10- سهمی ${y^2} = 4x - 4$ مفروض است. به مرکز کانون سهمی و به شعاع 3 واحد دایره‌ای رسم می‌کنیم، مختصات نقاط برخورد دایره و سهمی را بیابید.

${y^2} = 4(x - 1)\,\,\,\,\,\,\,S\left| \begin{gathered}
  1 \hfill \\
  0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

$4a = 4 \to a = 1 \to F = O\left| \begin{gathered}
  \alpha  + a = 1 + 1 = 2 \hfill \\
  \beta  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

${(x - 2)^2} + {(y - 0)^2} = 9 \to {x^2} + {y^2} - 4x - 5 = 0$

$\left\{ \begin{gathered}
  {y^2} = 4x - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
  {y^2} =  - {x^2} + 4x + 5 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

$ \Rightarrow \cancel{{4x}} - 4 =  - {x^2} + \cancel{{4x}} + 5 \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow x =  \pm 3$

$x = 3 \to {y^2} = 8 \to y =  \pm 2\sqrt 2 $

$x =  - 3 \to {y^2} = 16$

$M\left| \begin{gathered}
  \,\,\,3 \hfill \\
  2\sqrt 2  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,N\left| \begin{gathered}
  \,\,\,\,\,3 \hfill \\
   - 2\sqrt 2  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

11- سهمی $P$ با کانون $F$ و خط هادی $d$ مفروض است. ثابت کنید مرکز هر دایره که از $F$ بگذرد و بر خط $d$ مماس باشد روی سهمی است و برعکس هر نقطه روی سهمی، مرکز یک دایره است که از $F$ گذشته و بر $d$ مماس است. با توجه به این موضوع تعریف دیگری از سهمی ارائه دهید.
چون دایره بر خط $d$ مماس است و همینطور از $F$ می‌گذرد پس $OH = OF = r$ یعنی فاصله مرکز دایره از این دو برابر است و طبق تعریف سهمی $O$ (مرکز) دایره بر روی سهمی واقع است.
«سهمی مکان هندسی مراکز دوایری است که بر خط $d$ مماس  و از نقطه $F$ خارج خط می‌گذرد»

12- در شکل سهمی با رأس $A$ و کانون $F$ و خط هادی $d$ رسم شده است. از $F$ به نقطهٔ دلخواه $M$ روی سهمی وصل کرده و امتداد داده‌ایم تا $d$ را در $N$ قطع کند و از نقطهٔ $M$، $MT$ را بر $d$ عمود کرده‌ایم. ثابت کنید: $\frac{{FN}}{{FA}} = \frac{{2NT}}{{TH}}$

$MF = MT,FS = SH$

$N\mathop M\limits^\Delta  T \sim N\mathop F\limits^\Delta  H \Rightarrow \frac{{NM}}{{NF}} = \frac{{MT}}{{FH}}$

$ \Rightarrow \frac{{NM}}{{NF}} = \frac{{MF}}{{2FS}} \to \frac{{NM}}{{MF}} = \frac{{NF}}{{2FS}}\,\,\,\,(1)$

$MT||FH \to \frac{{NM}}{{MF}} = \frac{{NT}}{{TH}}\,\,\,\,(2)$

$\xrightarrow{{(1),(2)}}\frac{{NF}}{{2FS}} = \frac{{NT}}{{TH}}\xrightarrow{{ \times 2}}\frac{{NF}}{{FS}} = \frac{{2NT}}{{TH}}$

13- یک دانش‌آموز با دیدن دو دیش مخابراتی با ابعاد متفاوت و مشاهدهٔ فاصلهٔ کانونی متفاوت آنها به این فکر افتاد که چگونه می‌توان با داشتن یک دیش فاصلهٔ کانونی آن را به‌دست آورد. او از معلمش خواست که فرمولی برای محاسبهٔ فاصلهٔ کانونی یک دیش به او بگوید. معلم به او گفت: باید قطر دهانهٔ دیش را در خودش ضرب کرد و حاصل ضرب را بر اندازهٔ گودی (عمق) دیش تقسیم کرد و عدد حاصل را بر 16 تقسیم کرد. حاصل فاصلهٔ کانونی دیش است. دلیل درستی این دستور را با توجه به سهمی رسم شده در شکل زیر و فرمول سهمی توضیح دهید.

${(x - 0)^2} = 4a(y - 0) \Rightarrow {x^2} = 4ay$

$\xrightarrow{{{x_0},{y_0}}}x_0^2 = 4a{y_0} \Rightarrow a = \frac{{x_0^2}}{{4{y_0}}}$

14- فرض کنید از مثلث $ABC$، اندازه ضلع $BC$ و ارتفاع $AH$ و محیط مثلث، داده شده باشد، با استفاده از خواص بیضی شیوهٔ رسم این مثلث را توضیح دهید.
طریقه رسم بیضی با داشتن $BC$ (کانون‌ها به فاصله $BC$ از هم قرار دارند) وسط آنها را $O$ مرکز بیضی در نظر گرفته از دو طرف به اندازه $(p,c)$ یعنی نصف محیط منهای نصف $BC$ روی امتداد $BC$ انتخاب کرده تا دور آن بیضی پدید آیند با داشتن $a.c$ می‌توان $b$ را هم محاسبه کرد و بیضی را رسم کرد.

${c^2} = {a^2} - {b^2} \to {b^2} = {c^2} - {a^2} = {(p - c)^2} - {c^2} \to b = \sqrt {{p^2} - pc} $

$AB + AC + BC - 2p \to AB + AC - 2p - BC \Rightarrow 2a - 2p - BC$

اگر $AH \lt h$ باشد مسئله 4تا جواب دارد.
اگر $AH = h$ باشد مسئله 2تا جواب دارد.
اگر $AH \gt h$ باشد مسئله جواب ندارد.

بیضی با کانون‌های $B.C$ و رأس $A$ نقطه‌ایی از بیضی که قطر بزرگ بیضی $2a$ است رسم می‌کنیم خط موازی $BC$ به فاصله $AH$ از آن رسم می‌کنیم.

15 - سهمی $y = {x^2}$ و دو خطِ موازی ${d_1}:y = ax + b$ و ${d_2}:y = ax + b'$ را که با سهمی متقاطع‌اند، درنظر بگیرید.

الف) معادلهٔ درجهٔ دومی تشکیل دهید که ریشه‌های آن طول نقاط برخورد خط ${d_1}$ و سهمی $y = {x^2}$ باشد.

$\left\{ \begin{gathered}
  y = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
  y = ax + b \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {x^2} = ax + b \to {x^2} - ax - b = 0$

ب) فرض کنید $A$ و $B$ نقاط برخورد خط ${d_1}$ و سهمی باشند و نقطهٔ $M$ وسط پاره‌خط $AB$ باشد، مختصات نقطهٔ $M$ را به‌دست آورید.

${x_1} + {x_2} = S = a \Rightarrow M\left| \begin{gathered}
  \,\,\,\,\,\frac{a}{2} \hfill \\
  a\left( {\frac{a}{2}} \right) + b \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow M\left| \begin{gathered}
  \frac{a}{2} \hfill \\
  \frac{{{a^2} + 2b}}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

پ) مراحل (الف) و (ب) را با جایگذاری خط ${d_2}$ به جای ${d_1}$ انجام دهید و مختصات نقطهٔ $M'$ (نقطهٔ وسط پاره‌خط حاصل از نقاط تقاطع خط ${d_2}$ و سهمی) را به‌دست آورید.

${x_1} + {x_2} = S = a \Rightarrow M'\left| \begin{gathered}
  \,\,\,\,\,\frac{a}{2} \\
  a\left( {\frac{a}{2}} \right) + b' \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow M'\left| \begin{gathered}
  \frac{a}{2} \\
  \frac{{{a^2} + 2b'}}{2} \\ 
\end{gathered}  \right.$

$\left\{ \begin{gathered}
  y - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
  y = ax + b' \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {x^2} = ax + b' \to x' - ax - b' = 0$

ت) خط $MM'$ نسبت به محور $y$ها چه وضعی دارد؟

$ \Rightarrow MM'||oy$ تعریف نشده  ${m_{MM'}} = $

ث) با استفاده از نتایج قسمت‌های قبل روشی برای رسم محور تقارن یک سهمی با داشتن نمودار آن ارائه دهید و با این روش محور تقارن سهمی زیر را رسم کنید.

ابتدا دو خط ${d_2},{d_1}$ را رسم می‌کنیم بطور یکه سهمی را قطع کند اواسط را $M,M'$ می‌نامیم $MM'$ موازی محور تقارن است. از رأس $S$ موازی $MM'$ رسم می‌کنیم که محور تقارن است.